复平面上含超几何函数的积分求解问题

我遇到了一个包含超几何函数的积分，表达式如下：
$$I = \int_0^1 x^{1/2}(1-x){\epsilon-1} {_{2}F_1}(\frac{1}{2}+\epsilon,1+\epsilon;\frac{3}{2};x) dx.$$
其中$\epsilon$是一个小的复量，满足$|\epsilon|\ll1$。

我在《积分、级数与乘积表》的ET II 399(4)中找到了一个积分公式：
$$\int_0^1 x^{{\gamma-1}(1-x)}{\rho-1}F(\alpha,\beta,;\gamma;x)dx=\frac{\Gamma(\gamma)\Gamma(\rho)\Gamma(\gamma+\rho-\alpha-\beta)}{\Gamma(\gamma+\rho-\alpha)\Gamma(\gamma+\rho-\beta)}$$
适用条件为$Re \ \gamma\gt0, Re\ \rho\gt0, Re\ (\gamma +\rho -\alpha - \beta)\gt0$。

可以看到，在我的问题中，$\alpha=1/2+\epsilon, \beta=1+\epsilon, \gamma=3/2, \rho=\epsilon$。即使假设$Re\ (\epsilon) \gt 0$（这不一定成立），第三个条件也无法满足，因为$Re\ (\gamma +\rho -\alpha - \beta)= Re\ (-\epsilon)\lt0$。

我有一个关于积分$I$的问题：这种情况是否意味着$I$发散？或者有没有其他方法可以求出结果？如果可以的话，希望有人能指导我如何求解这个积分。感谢大家抽出时间阅读我的帖子！

编辑：问题背景补充

我想要计算复平面上沿路径$C$的如下复积分：
$$K=\int_C\frac{z^2}{1+z2} {_2F_1(\frac{1}{2}+\epsilon,\frac{1}{2}-\epsilon;\frac{3}{2};-z^2)}dz,$$
其中$z=x/\delta$，$x$为实数，$\delta=\sqrt{(4\epsilon^2-1)\eta}$。这里$\epsilon$是小复量（$|\epsilon|\ll1$）（我们可以假设$Re (\epsilon)$为正或负，哪种方便就用哪种），$0\lt\eta\ll1$是实参数；积分路径$C$由$z=x/\delta$确定，$x$的取值范围是$(0,+\infty)$。

我的尝试是先做变量替换$t=z^2$，将积分$K$转化为：
$$K=\frac{1}{2}\int_{C'} t^{1/2}(1+t){-1} {2F_1(\frac{1}{2}+\epsilon,\frac{1}{2}-\epsilon;\frac{3}{2};-t)}dt$$
然后利用恒等式：
$$F(a,b;c;z)=(1-z)^{-a}F(a,c-b;c;\frac{z}{z-1})$$
得到：
$$K=\frac{1}{2}\int{C''} t^{1/2}(1+t){-3/2-\epsilon} {_2F_1(\frac{1}{2}+\epsilon,1+\epsilon;\frac{3}{2};\frac{t}{t+1})}dt$$

此时我做了变量替换$l=t/(t+1)$，得到：
$$K=\frac{1}{2}\int_{C'''}l^{1/2}(1-l){\epsilon-1} {_2F_1(\frac{1}{2}+\epsilon,1+\epsilon;\frac{3}{2};l)dl},$$
其中积分路径$C'$、$C''$和$C'''$会随着变量替换相应变化。

最后，当$x: 0 \to +\infty$时，$l$沿路径$C'''$从$0 \to 1$，因此我认为（我觉得这里可能犯了严重错误，但不确定原因）：
$$K=\frac{1}{2}\int_0^1l{1/2}(1-l)^{\epsilon-1} {_2F_1(\frac{1}{2}+\epsilon,1+\epsilon;\frac{3}{2};l)dl}.$$

显然，根据@Conrad的评论，在$l=1$处被积函数是奇异的，所以我在将积分路径从$C'''$改为实轴时需要格外小心。

这一步我该怎么做？

如果有人能告诉我如何处理这个问题，我将非常感激；感谢大家抽出时间阅读我的帖子！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Yolbarsop