关于0<α<1/2时级数∑ₖ=1^∞ log(1+(-1)^(k+1)/k^α)发散性证明的困惑与求解

大家好，我最近在尝试证明一个级数的发散性，但过程中得出了和结论矛盾的结果，想请各位帮忙分析下问题出在哪。

我的问题是：要证明对于任意满足 $0<\alpha<\frac{1}{2}$ 的α，级数
$$\sum\limits_{k=1}^{\infty} \log\left(1+\frac{(-1)^{k+1}}{k\alpha}\right)$$
是发散的。

我的思路是这样的：先把 $\log(1+\epsilon)$ 在0点做泰勒展开，展开到第N阶——这里的N是满足 $\alpha N >1$ 的最小整数，然后把 $\epsilon = \frac{(-1)^{k+1}}{k\alpha}$ 代入展开式中。

按照这个思路展开后，我把原级数拆成了几个交错级数、一个收敛级数（因为αN>1，对应的级数通项趋于0的速度足够快），再加上余项部分，具体式子如下：
$$\begin{align*}
&\sum\limits_{k=1}^{\infty} \log\left(1+\frac{(-1)^{k+1}}{k\alpha}\right)\
=&\sum\frac{(-1)^{k+1}}{k\alpha}-\sum\frac{1}{2k^{{2\alpha}}+\dots+\sum(-1)}{N+1}\frac{(-1)^{k+1}}{k{\alpha N}\cdot N}+\sum R_N\left(\frac{(-1)^{k+1}}{k\alpha}\right)
\end{align*}$$

可问题来了，我拆出来的这些部分看起来都是收敛的，但这和题目要证明的级数发散完全矛盾。我实在找不到自己的逻辑漏洞在哪里，有没有大佬能帮我指点一下？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ofek Levy