关于非单位代数中元素谱的推广定义的理解疑问

嗨，这个问题我刚学非单位代数的时候也纠结过，其实这里是把A中的元素x自然嵌入到A_I里了，只是教材里没把这个嵌入过程写出来，才会让你觉得困惑～

具体来说，我们可以定义一个自然的嵌入映射：把A中的每个元素x对应到A_I中的元素$(x, 0)$。你可以验证一下：

• 这个嵌入是代数同态：对于任意x,y∈A，$(x,0)·(y,0)=(xy + 0·y + 0·x, 0·0)=(xy,0)$，正好对应A里的xy；
• 而且这样嵌入之后，我们就可以把A看作A_I的一个子代数了（准确说是一个理想，因为A_I里所有形如$(a,0)$的元素构成的子集就是A的同构像，而且是A_I的一个真理想）。

所以教材里写的$Sp_A(x) = Sp_{A_I}(x)$，其实是省略了嵌入的步骤，完整的写法应该是：
$$
Sp_A(x) = Sp_{A_I}\big( (x, 0) \big)
$$

另外我注意到你提到的$A_I$的运算式可能有笔误，正确的运算定义应该是：
$$
(x,\lambda) · (y, \mu) = (xy + \lambda y + \mu x, \lambda \mu)
$$
这样才能保证$A_I$是真正的单位代数——你可以验证一下单位元$(0,1)$和任意元素$(a,λ)$的乘积：
$(a,λ)·(0,1)=(a·0 + λ·0 + 1·a, λ·1)=(a,λ)$，反过来$(0,1)·(a,λ)$结果也一样，完全符合单位元的定义。原提问里的$(xy + λ + μ, λμ)$明显是写错了，把$\lambda y + \mu x$误写成了$\lambda + \mu$，这估计也是让你觉得别扭的小细节～

补上嵌入映射这个环节后，整个定义就完全自洽了，你可以再理一遍试试！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Olimani