关于调和数差值极限函数$f(x) = \lim \limits_{n \to \infty} H_{\lfloor xn \rfloor} - H_n$的形态及一般情况极限的技术问询

嘿，这个问题提得特别有意思！你从$H_{2n}-H_n$的极限联想到一般情况，这是个很棒的延伸思考。咱们一步步来拆解这个问题：

首先，我们得用到调和数的经典渐近近似公式——当$n$趋向于无穷大时，调和数$H_n$可以表示为：
$$H_n = \ln n + \gamma + o(1)$$
这里$\gamma$是欧拉-Mascheroni常数（大约是0.5772...），$o(1)$是一个随着$n$增大而趋近于0的余项。

现在来看你关心的$f(x) = \lim_{n \to \infty} H_{\lfloor xn \rfloor} - H_n$，首先我们只考虑$x>0$的情况（毕竟当$x≤0$时，$\lfloor xn \rfloor$会变成非正整数，调和数在这个范围的定义通常需要解析延拓，和咱们讨论的正整数项调和数场景不太一致）。

当$n$足够大时，$\lfloor xn \rfloor$和$xn$的差距最多是1，也就是$\lfloor xn \rfloor = xn - {xn}$，其中${xn}$是$xn$的小数部分（满足$0 ≤ {xn} < 1$）。那我们把$H_{\lfloor xn \rfloor}$用渐近公式展开：
$$H_{\lfloor xn \rfloor} = \ln(\lfloor xn \rfloor) + \gamma + o(1) = \ln(xn - {xn}) + \gamma + o(1)$$
接下来对对数项做变形：
$$\ln(xn - {xn}) = \ln\left(xn\left(1 - \frac{{xn}}{xn}\right)\right) = \ln x + \ln n + \ln\left(1 - \frac{{xn}}{xn}\right)$$
因为$\frac{{xn}}{xn} ≤ \frac{1}{xn}$，当$n→∞$时，这个分式趋向于0，而$\ln(1-t) \sim t$当$t→0$，所以$\ln\left(1 - \frac{{xn}}{xn}\right) = o(1)$。

把这些代回原式，减去$H_n$的渐近展开：
$$H_{\lfloor xn \rfloor} - H_n = \left(\ln x + \ln n + \gamma + o(1)\right) - \left(\ln n + \gamma + o(1)\right) = \ln x + o(1)$$
当$n→∞$时，$o(1)$消失，所以极限就是$\ln x$。

你之前观察到的$H_{2n}-H_n$的极限是$\ln2$，正好符合这个结论；如果是$H_{3n}-H_n$，极限就是$\ln3$，$H_{4n}-H_n$就是$\ln4=2\ln2$，完全对应得上。甚至当$x$不是整数的时候，比如$x=1.5$，$\lim_{n→∞}H_{\lfloor 1.5n \rfloor}-H_n$也是$\ln1.5=\ln3 - \ln2$，同样成立。

当$x=1$时，$\lfloor 1\cdot n \rfloor =n$，所以$H_n - H_n=0$，而$\ln1=0$，也完美契合这个公式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MilesZew