Max Heap最后insert操作的可能键值分析及相关疑问

首先明确一点：通过insert和remove the maximum操作维护的堆，每次操作后必然是合法的最大堆——这两个操作本身就包含了堆的调整逻辑（插入时的向上冒泡、删除最大值时的向下冒泡），所以不需要额外执行heapify，当前的堆结构一定是符合最大堆性质的。

回到你的问题，给定的最大堆结构如下（层序遍历顺序：20, 18, 19, 10, 13, 15, 1, 5, 9, 8, 11）：

20
      /    \
    18      19
   /  \    /  \
 10   13  15   1
/ \  / \
5 9 8 11

最后一次操作是insert，我们需要找到哪些元素可能是最后插入的。插入操作的逻辑是：

1. 将新元素放在完全二叉树的最后一个位置
2. 向上冒泡（与父节点比较，若新元素更大则交换，直到父节点更大或到达根节点）

因此，最后插入的元素必须满足：

• 插入前，去掉该元素的堆是合法的最大堆
• 该元素通过向上冒泡（或无需冒泡）到达当前位置

逐一分析后，只有11符合条件：

• 插入11前，堆的节点是20, 18, 19, 10, 13, 15, 1, 5, 9, 8，这是一个合法的最大堆（所有父节点均大于子节点）
• 插入11时，放在堆的最后一个位置（对应当前堆的11的位置），父节点是13，11 < 13，无需向上冒泡，直接得到当前的堆结构

其他元素都无法满足条件：

• 根节点20：插入前的堆会出现19 > 18的情况，不是合法最大堆
• 18、19、10、13、15等非叶子节点：插入后无法通过向上冒泡到达当前位置（要么插入前的堆不合法，要么调整后的位置与当前堆不符）
• 5、9、8、1等叶子节点：插入后会停在堆的最后位置，无法到达当前所在的非最后叶子节点位置

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sharon Denys