关系的对称性、传递性及偏序关系相关技术问题

咱们先从R1的传递性说起哈。给定集合 $M := {α, β, γ}$，关系 $R1 := {(α, α), (α, β), (β, α), (β, β), (γ, γ)}$。

首先得明确传递性的判定规则：对于任意元素a、y、x，如果 $(a,y)\in R1$ 且 $(y,x) \in R1$，那么必须有 $(a,x) \in R1$ 成立。

接下来咱们逐个验证所有可能的组合：

• 涉及α的组合：
  • 若$(α, α)$和$(α, α)$同时在R1中，推出$(α, α)$，显然在R1里；
  • 若$(α, α)$和$(α, β)$同时存在，推出$(α, β)$，也在R1中；
  • 若$(α, β)$和$(β, α)$同时存在，推出$(α, α)$，属于R1；
  • 若$(α, β)$和$(β, β)$同时存在，推出$(α, β)$，同样在R1里；
• 涉及β的组合：
  • 若$(β, α)$和$(α, α)$同时存在，推出$(β, α)$，在R1中；
  • 若$(β, α)$和$(α, β)$同时存在，推出$(β, β)$，属于R1；
  • 若$(β, β)$和$(β, α)$同时存在，推出$(β, α)$，在R1里；
  • 若$(β, β)$和$(β, β)$同时存在，推出$(β, β)$，显然符合；
• 最后看γ的情况：只有$(γ, γ)$这一组，和自身组合后推出$(γ, γ)$，也在R1中。

所有满足前提的情况都符合结论，所以R1是传递关系。

再来说说为什么R2不是偏序关系。首先得清楚，偏序关系必须同时满足三个性质：自反性、反对称性、传递性。只要R2违反了其中任意一条，就不能成为偏序关系：

• 要是R2不满足自反性：集合M里存在某个元素a，使得$(a,a)$不在R2中；
• 要是R2不满足反对称性：存在两个不同的元素a≠b，既存在$(a,b)\in R2$，又存在$(b,a)\in R2$；
• 要是R2不满足传递性：存在元素a、y、x，$(a,y)\in R2$且$(y,x)\in R2$，但$(a,x)$不在R2中。

只要出现以上任意一种情况，R2就不是偏序关系啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者robsmayer