关于阶乘推广的伽马函数替代函数的技术咨询

这个问题我也在历史与科学数学相关社区提问了。 #

$$\Gamma(x)= \int_0^ \infty e^{-t}t{x-1}dt \ \ \ \ \ \ \ x>0. $$

后来Bohr和Mollerup证明了，伽马函数是定义在$(0,\infty)$上的唯一满足以下性质的正函数$f$：

• $f(x+1)=xf(x)$
• $f(1)=1$
• $f(x)$是连续函数
• $f(x)$是对数凸函数

不过在Bohr和Mollerup提出这个唯一性结论之前，欧拉或者伯努利为什么会选中这个函数呢？毕竟满足$f(x+1)=xf(x)$的正连续函数其实有无数个。我很好奇，有没有在伽马函数之前被用作阶乘推广的替代函数？如果有的话，我们现在为什么不再使用它们了？如果没有的话，那欧拉这些前辈是怎么在Bohr和Mollerup早几个世纪的时候，就找到这个“唯一”“自然”的阶乘推广的？感觉他们仿佛早就知道这个解是唯一的一样。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者pie