阿贝尔范畴的两种定义是否等价？

咱先把题目里提到的两种定义明确下来：

有些资料里，阿贝尔范畴被定义为：

一个预阿贝尔范畴，其中每个单态射都是其上核的核，每个满态射都是其核的上核。

而另一些资料的定义则是：

一个预阿贝尔范畴，其中每个单态射都是某个态射的核，每个满态射都是某个态射的上核（不一定是它们自己的上核或核）。

答案是这两种定义完全等价！下面给你梳理一下推导过程：

从第一种定义推第二种 #

如果一个预阿贝尔范畴满足第一个定义，那每个单态射本身就是它上核的核——显然它也是“某个态射的核”（这个态射就是它的上核）；同理，每个满态射是它核的上核，自然也是“某个态射的上核”。所以第一种定义的范畴必然满足第二种定义。

从第二种定义推第一种 #

假设预阿贝尔范畴满足第二个定义，我们来证明它也满足第一个：

• 任取单态射 f: A → B，根据定义它是某个态射 g: B → C 的核。考虑 f 的上核 cok(f): B → D，因为 g ∘ f = 0（毕竟 f 是 g 的核），所以 g 可以通过 cok(f) 分解，即存在 h: D → C 使得 g = h ∘ cok(f)。
  现在要证 f 是 cok(f) 的核：假设存在态射 k: X → B 使得 cok(f) ∘ k = 0，那么 g ∘ k = h ∘ cok(f) ∘ k = 0。因为 f 是 g 的核，所以存在唯一的态射 m: X → A 使得 k = f ∘ m，这就说明 f 是 cok(f) 的核。
• 对于满态射的情况，完全可以用对称的方法证明：任取满态射 g: B → C，它是某个态射的上核，进而可以推出 g 是其核 ker(g) 的上核。

这样就双向证明了两种定义的等价性啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Laplace series