求证绝对值黎曼可积的导数函数本身也黎曼可积
嗨，我来帮你把这个证明的逻辑串起来，其实核心就是把导数的介值性和黎曼可积的勒贝格准则结合起来用，一步步来：
首先，先明确我们要用到的关键结论：
- 黎曼可积的勒贝格准则：一个函数在闭区间$[a,b]$上黎曼可积，当且仅当它在$[a,b]$上有界，且其不连续点的集合是零测集（测度为0）。
- 达布定理：导数具有介值性（即导数在任何区间上的像都是连通的，也就是区间）。
接下来分两步完成证明：
第一步：证明$f(x)$在$[a,b]$上有界
因为$|f(x)|$在$[a,b]$上黎曼可积，而黎曼可积的函数必然在区间上有界（这是黎曼积分的基本要求，否则达布上和会趋向无穷），所以存在常数$M>0$，使得对所有$x\in[a,b]$，$|f(x)|\leq M$，自然$f(x)$也有界。
第二步：证明$f(x)$的不连续点集合是零测集
设：
- $D$为$f(x)$的不连续点集合；
- $D_1$为$|f(x)|$的不连续点集合。
根据勒贝格准则，$|f(x)|$黎曼可积，所以$m(D_1)=0$（$m$表示勒贝格测度）。我们只需要证明$D\subseteq D_1$，就能推出$m(D)\leq m(D_1)=0$。
用反证法：假设存在$x_0\in D$但$x_0\notin D_1$，也就是$f(x)$在$x_0$处不连续，但$|f(x)|$在$x_0$处连续。
分两种情况讨论：
若$f(x_0)\neq0$：
因为$|f(x)|$在$x_0$连续，$\lim_{t\to x_0}|f(t)|=|f(x_0)|>0$。如果存在序列$t_n\to x_0$使得$f(t_n)$与$f(x_0)$异号，根据导数的介值性，在$t_n$和$x_0$之间必然存在点$c_n$使得$f(c_n)=0$。当$n\to\infty$时，$c_n\to x_0$，则$\lim_{n\to\infty}|f(c_n)|=0$，但这与$\lim_{t\to x_0}|f(t)|=|f(x_0)|>0$矛盾。
因此，在$x_0$的某个邻域内，$f(t)$与$f(x_0)$同号，此时$|f(t)|=\text{sign}(f(x_0))\cdot f(t)$，即$f(t)$是$|f(t)|$的常数倍（符号固定）。因为$|f(t)|$在$x_0$连续，所以$f(t)$也在$x_0$连续，这与$x_0\in D$矛盾。若$f(x_0)=0$：
因为$|f(x)|$在$x_0$连续，所以$\lim_{t\to x_0}|f(t)|=|f(x_0)|=0$，这等价于$\lim_{t\to x_0}f(t)=0=f(x_0)$，即$f(x)$在$x_0$处连续，同样与$x_0\in D$矛盾。
综上，不存在这样的$x_0$，即$D\subseteq D_1$，所以$m(D)=0$。
结合第一步的有界性，根据勒贝格准则，$f(x)$在$[a,b]$上黎曼可积。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者MathNoob
