满足可迹性三项必要条件的最小不可迹图求解

嘿，这个问题问得很到位！咱们先把核心需求再明确一遍：要找规模最小的不可迹图，同时它得满足可迹性的三个必要条件——毕竟你已经知道这三个条件不充分，现在要找反例里最小的那个。

先把三个条件再理清楚：

• 图$G$是连通的
• $G$中最多包含2个度数为1的顶点
• 对任意顶点子集$S \subseteq V(G)$，移除$S$后得到的子图$G-S$的连通分支数不超过$|S|+1$

你提到的6阶及以下连通不可迹图都不满足第三个条件，这点完全正确——这些图要么存在割集$S$使得分支数超标，要么1度顶点数量超过2，都不符合要求。

那最小的符合所有三个条件的不可迹图是什么呢？答案是Herschel图，它是一个10阶的3-正则图（所有顶点度数都是3）：

• 它显然是连通的，而且没有1度顶点，满足前两个条件；
• 对于任意顶点子集$S$，移除$S$后得到的子图分支数绝对不会超过$|S|+1$，完美符合第三个条件；
• 但它确实是不可迹的——不存在任何哈密顿路径，正好是你要找的反例。

这个图可以直观理解为两个正五边形通过5条不交叉的边连接而成的结构，这种构造方式刚好让它无法存在哈密顿路径，但又满足那三个必要条件。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Vincent Cattoni