如何不使用微分法求多项式$x^{73}-2x^{15}+3x-1$被$(x-1)^2$除的余数

你已经找对了核心思路：因为除数是二次多项式，余数必然是一次式，设为$r(x)=ax+b$，而且通过代入$x=1$已经得到了$a+b=1$。接下来不用微分的话，有两种非常直观的纯代数方法可以求出$a$和$b$：

方法一：二项式展开换元法 #

我们可以把$x$替换成$1+t$（这里$t=x-1$），这样原式中的$(x-1)^{2$就变成了$t}2$，所有高于$t^{1$的项都会被$t}2$整除，我们只需要保留展开式里的常数项和一次项，就是余数对应的部分。

逐个计算多项式的每一项：

• $x^{73}=(1+t){73}$：根据二项式定理，展开后前两项是$1 + 73t$（更高次项都是$t^2$的倍数，直接忽略）
• $-2x^{15}=-2(1+t){15}$：展开前两项得$-2(1 + 15t)=-2 -30t$
• $3x=3(1+t)=3 + 3t$
• 常数项$-1$保持不变

把这些项加起来：
$$
(1+73t) + (-2-30t) + (3+3t) + (-1)
$$
计算常数项：$1-2+3-1=1$；计算一次项系数：$73t-30t+3t=46t$

把$t=x-1$代回，余数就是：
$$
46(x-1)+1=46x-45
$$

方法二：利用多项式差商的性质 #

我们已经知道$f(x)=(x-1)^2q(x)+ax+b$，且$f(1)=a+b=1$。现在考虑式子$\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$，代入$f(x)$的表达式可得：
$$
\frac{f(x)-1}{x-1}=(x-1)q(x)+a
$$
当$x=1$时，右边的结果就是$a$，所以我们只需要计算左边这个分式在$x=1$时的值即可。

拆分分式后：
$$
\frac{f(x)-1}{x-1}=\frac{x^{73}-1}{x-1} -2\cdot\frac{x^{15}-1}{x-1} +3\cdot\frac{x-1}{x-1}
$$
我们知道$\frac{x^n-1}{x-1}=x{n-1}+x^{n-2}+\dots+1$，当$x=1$时，这个式子等于$n$（因为有$n$个1相加）。代入$x=1$计算：
$$
\frac{f(x)-1}{x-1}\bigg|_{x=1}=73 -2\times15 +3\times1=73-30+3=46
$$
所以$a=46$，再结合$a+b=1$，可得$b=1-46=-45$，余数就是$46x-45$。

这两种方法都完全不需要用到微分，纯代数操作就能解决问题，逻辑也很清晰。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Krave37