Noetherian有限生成R-模中子模的有限指标直和补存在性问题

我们知道，假设$S$是$R$-模$M$的一个子模，不一定能将$M$分解为直和形式：
$$ M = S \oplus S^c $$

不过我现在有个疑问：如果假设$M$是有限生成的Noetherian模，$S$是它的一个子模，那我们是不是总能找到一个子模$S'$，满足$S$与$S'$的交是平凡的（即$S \cap S' = {0}$），并且当我们把它们看作阿贝尔群时，$S \oplus S'$是$M$的有限指标子群？

我自己已经有一点思路了：因为$M$是Noetherian的，所以应该能找到一个极大的子模$S'$，使得$S$和$S'$的交是平凡的。但我实在想不通，这是不是就能推出这个直和在$M$中具有有限指标？希望能得到一些提示，非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ghc1997