确定与动线段PQ中垂线相切的曲线C

嘿，咱们来一步步拆解这个几何问题！先明确核心条件：过定点$P(x_0,y_0)$的动直线和圆$x^2+y2=a^2$交于点$Q$，所有线段$PQ$的中垂线都和曲线$C$相切，咱们要分别找出$P$在圆内、圆外两种情况下的曲线$C$。

(i) 当$P$在圆内时（$x_0^2 + y_0^2 < a^2$） #

从线段中垂线的基础性质出发：中垂线上任意一点到$P$和$Q$的距离相等。咱们用圆的参数方程设$Q$的坐标为$(a\cos\theta, a\sin\theta)$（$\theta$是动直线的参数），先算出$PQ$的中点坐标是$\left( \frac{x_0 + a\cos\theta}{2}, \frac{y_0 + a\sin\theta}{2} \right)$，再根据$PQ$的斜率求出中垂线的斜率（负倒数），进而写出中垂线的方程：

$$y - \frac{y_0 + a\sin\theta}{2} = \frac{x_0 - a\cos\theta}{a\sin\theta - y_0} \left( x - \frac{x_0 + a\cos\theta}{2} \right)$$

展开并整理这个方程（利用$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$消去同类项），可以得到更简洁的形式：

$$a(x\cos\theta + y\sin\theta) = xx_0 + yy_0 + \frac{a^2 - (x_0^2 + y_0^2)}{2}$$

接下来要找这族动直线的包络线（也就是所有中垂线都相切的曲线$C$），用包络的核心条件：直线方程$F(x,y,\theta)=0$，同时满足对参数$\theta$的偏导数$\frac{\partial F}{\partial \theta}=0$。

对$\theta$求偏导后得到：$-ax\sin\theta + ay\cos\theta = 0$，即$y\cos\theta = x\sin\theta$，也就是$\tan\theta = \frac{y}{x}$。把$\cos\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+y2}}$、$\sin\theta = \frac{y}{\sqrt{x^2+y2}}$代入整理后的中垂线方程，最终能推导出曲线$C$的极坐标方程：

$$r = \frac{a^2 - d^2}{2(a - d\cos\phi)}$$

其中$d = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}$，$r = \sqrt{x^2+y2}$，$\cos\phi = \frac{xx_0 + yy_0}{rd}$。这是椭圆的极坐标形式——因为$d < a$（$P$在圆内），离心率$e = \frac{d}{a} < 1$。它的一个焦点在圆心$O$，另一个焦点在定点$P$，中心在$OP$的中点，长半轴长为$\frac{a}{2}$。

转换成直角坐标方程的形式为：

$$4a^2(x2+y^2) = \left[ 2(xx_0 + yy_0) + a^2 - (x_0^2 + y_0^2) \right]^2$$

(ii) 当$P$在圆外时（$x_0^2 + y_0^2 > a^2$） #

推导过程和圆内的情况几乎完全一致，唯一的区别是$d > a$。同样利用中垂线方程和包络条件，最终得到的极坐标方程为：

$$r = \frac{d^2 - a^2}{2(d\cos\phi - a)}$$

这里离心率$e = \frac{d}{a} > 1$，所以曲线$C$是双曲线的一支（靠近圆心$O$的那一支），焦点同样在原点$O$和定点$P$，中心在$OP$的中点。对应的直角坐标方程和椭圆形式相同，但因为$d > a$，实际表示的是双曲线的一支：

$$4a^2(x2+y^2) = \left[ 2(xx_0 + yy_0) + a^2 - (x_0^2 + y_0^2) \right]^2$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Cognoscenti