实分析中补全函数定义使其在实数域连续的问题

首先，咱们先把问题理清楚：有三个定义在$\mathbb{R}\setminus{0}$（也就是除0以外的所有实数）上的函数：

• $f(x)=\frac{1}{x^2}$
• $g(x)=\frac{\sin x}{x}$
• $h(x)=\frac{|x|}{x}$

现在要判断：能不能给$f(0)$、$g(0)$、$h(0)$分别赋值，让这三个函数各自在整个实数域$\mathbb{R}$上连续？

先回忆下函数在某点连续的核心逻辑：函数在点$a$连续的充要条件是$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$，你提到的ε-δ定义其实是这个结论的严格表述，本质就是要求函数在该点的极限值等于函数在该点的定义值。所以核心就是看$x \to 0$时，每个函数的极限是否存在（且为有限值）：

1. 关于$f(x)=\frac{1}{x^2}$ #

当$x$趋近于0的时候，$x^{2$会趋近于0+（不管x从正方向还是负方向趋近，平方都是正的），所以$\frac{1}{x}2}$会无限增大，趋近于$+\infty$——这个极限是不存在的（因为不是有限值）。

这时候不管你把$f(0)$设成什么实数，都没办法满足$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$，毕竟一个无穷大的“极限”不可能等于某个具体的实数。所以不存在这样的$f(0)$值，能让$f$在$\mathbb{R}$上连续。

2. 关于$g(x)=\frac{\sin x}{x}$ #

这是实分析里的经典极限：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，这个极限存在且是有限值。

那我们只需要把$g(0)$设为1，这样就满足了$\lim_{x \to 0} g(x) = g(0) = 1$，完全符合连续的要求。用你提到的ε-δ定义验证的话：对于任意给定的$\varepsilon>0$，总能找到一个$\delta>0$，当$|x-0|<\delta$时，$\left|\frac{\sin x}{x} - 1\right| < \varepsilon$，所以把$g(0)$设为1，就能让$g$在$\mathbb{R}$上连续。

3. 关于$h(x)=\frac{|x|}{x}$ #

先拆解这个函数：当$x>0$时，$|x|=x$，所以$h(x)=1$；当$x<0$时，$|x|=-x$，所以$h(x)=-1$。

看$x$趋近于0的极限：

• 右极限（$x \to 0^+$）：$\lim_{x \to 0^+} h(x) = 1$
• 左极限（$x \to 0^-$）：$\lim_{x \to 0^-} h(x) = -1$

左右极限不相等，说明$\lim_{x \to 0} h(x)$不存在。和$f$的情况类似，不管你把$h(0)$设成1、-1还是其他任何数，都没办法让这个不存在的极限等于$h(0)$。所以也不存在这样的$h(0)$值，能让$h$在$\mathbb{R}$上连续。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Markus Andeasen