Calderón-Zygmund理论中周期函数的估计式推导疑问

我最近在研读Calderón和Zygmund的一篇论文，其中第3页（对应页码252）给出了估计式(2.3)：
$$ |K(x-x_{\nu}) - K(-x_{\nu})| \leq \frac{1}{|x_{\nu}|^k} \omega\left(\frac{A}{|x_{\nu}|}\right) $$
文中提到常数A至多依赖于$\Omega$，但我怎么都推不出这个估计式。我尝试了常规的拆分思路，把原式拆成了两项：
$$ |K(x-x_{\nu}) - K(-x_{\nu})| \leq \left|\frac{\Omega\left(\frac{x-x_{\nu}}{|x-x_{\nu}|}\right) - \Omega\left(\frac{-x_{\nu}}{|x_{\nu}|}\right)}{|x-x_{\nu}|^k} \right| + \left|\Omega\left(-\frac{x_{\nu}}{|x_{\nu}|}\right)\left(\frac{1}{|x_{\nu}|^k} - \frac{1}{|x-x_{\nu}|^k} \right)\right| $$
目前我能把第一项整理成接近目标式的形式，但第二项的处理完全卡壳了，有没有懂行的朋友能帮我梳理一下推导思路？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者pde