平面ℝ²染色相关问题的求解问询

问题内容 #

(i) 第一问 #

证明：无论如何用3种颜色给平面$\mathbb{R}^2$的所有点染色，总存在两个距离为1的同色点。

(ii) 第二问 #

对于任意正整数k，当用k种颜色给平面$\mathbb{R}^2$的所有点染色时，是否总存在两个距离为1的同色点？

我的困惑 #

我现在完全摸不着第一个问题的入手方向，更别说解决第二个问题了。我能感觉到这类问题肯定需要一些巧妙的、有洞察力的思路才能搞定。

关于第二问，我直觉上认为答案应该是否定的，但就是不知道该怎么去证明“对任意正整数k，用k种颜色染平面时一定存在距离为1的同色点”这个结论不成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者jim