关于力迫法中泛集存在性的直觉判断是否正确的问询

最近啃Jech《集合论》第二版第14章218页的泛模型定理（也就是定理14.5）的证明，发现开头直接这么写：

设$(P, <)$是基础模型$M$中的一个力迫概念，$G \subset P$是$M$上的泛集

之后的证明流程是先构造对应的布尔代数$B=B(P)$（$P$在这个代数里是稠密的），接着构建布尔值模型$M^P$，最后得到泛扩张$M[G]$，而且还明确说$G \in M[G]$。

但我一直有个疑问：按照我的理解，$M$上的泛集$G \subset P$其实不一定存在吧？可证明一上来就默认它存在了，这是不是有问题？想确认下我的这个直觉判断到底对不对？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Link L