求同一球面上两个球冠的相交体积

我现在遇到了这么个问题：我想计算同一球面上两个球冠的相交体积，这个问题和某论坛上一个求球冠相交面积的问题类似，但我的需求是体积而非面积。

已知条件如下：

• 有一个半径为 $R$ 的球体
• 球面上存在两个球冠，它们的底面半径分别为 $a_1$ 和 $a_2$
• 用 $\theta$ 表示两个球冠的分隔角，也就是连接各自球冠顶点与球心的两条直线 $L_1$ 和 $L_2$ 之间的夹角

最开始我尝试套用球楔的计算公式，但很快发现球楔的“尖端”并不总是处于球心位置，这个思路走不通。后来我又想着能不能通过定义积分来求解，但目前还没梳理清楚具体的积分方案。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Danny