诺特1维非UFD局部整环中特定理想幂生成等式的成立性及反例寻求

首先明确问题背景：设$(R, \mathfrak m)$是1维诺特局部整环，且不是唯一分解整环（UFD），$Q(R)$是其分式域。取非零、非主理想$I\subsetneq \mathfrak m$，$n\geq2$，判断是否有如下等式成立：
$$(I(R:{Q(R)} I))^n=\sum{f\in (R:_{Q(R)} I)} (fI)^n$$

你的猜测是对的，这个等式并不总是成立，下面给出一个具体的反例：

构造反例 #

令$k$为任意域，设$R=k[[t^2,t5]]$——这是一个1维诺特局部整环，极大理想$\mathfrak m=(t^2,t5)$，分式域$Q(R)=k((t))$（形式Laurent级数域）。

• $R$不是UFD：$t^2$和$t5$都是$R$中的不可约元，但$t^{10}=(t2)^5=(t5)^2$，存在两种不同的不可约分解，因此$R$不满足UFD的定义。
• 选取理想$I=(t^4,t7)$：
  • $I$非零且$I\subsetneq \mathfrak m$：显然$I$是非零理想，且$t^2\in\mathfrak m$但$t^2\notin I$，故$I$真包含于极大理想$\mathfrak m$。
  • $I$非主：假设$I=(f)$，$f\in R$，则$f$需整除$t^4$和$t7$，即$t$-adic赋值$v_t(f)$需同时整除$4$和$7$，故$v_t(f)=1$，但$R$中不存在次数为1的元素，矛盾，因此$I$是非主理想。

计算相关理想并验证等式不成立 #

1. 计算$(R:_{Q(R)}I)$：
   $R$中元素的次数集合为$S={2a+5b\mid a,b\geq0, a,b\in\mathbb Z}={2,4,5,6,7,8,\dots}$（缺少次数3）。
   $x\in Q(R)$属于$(R:I)$当且仅当$xI\subseteq R$，即$x\cdot t^4\in R$且$x\cdot t^7\in R$：

   • $x\cdot t^4\in R$要求$x$的次数$k$满足$k+4\in S$，即$k\in S-4={-2,0,1,2,3,\dots}$；
   • $x\cdot t^7\in R$要求$k+7\in S$，即$k\in S-7={-5,-3,-2,-1,0,\dots}$。
     两者的交集为$k\in{-2,0,1,2,3,\dots}$（排除$k=-1$），即$x$不能含有$t^{-1}$项，其他次数$\geq-2$的项均可。

2. 计算$I(R:I)$：
   $I=(t^4,t7)$，$t^4\cdot (R:I)$包含$t^4\cdot t^{-2}=t2\in R$和$t^4\cdot 1=t^4\in R$，而$t^2$和$t5$（本身属于$R$）生成整个环$R$，故$t^4\cdot (R:I)=R$；同理$t^7\cdot (R:I)\subseteq R$，因此$I(R:I)=R+R=R$，左边$(I(R:I))^n=Rn=R$。

3. 分析右边的和$\sum_{f\in (R:I)}(fI)^n$：
   对任意$f\in (R:I)$，$v_t(f)\geq-2$，$v_t(I)\geq4$，故$v_t(fI)\geq-2+4=2$，因此$v_t((fI)^{n)\geq2n\geq4$（因$n\geq2$）。这意味着右边所有元素的最低次数$\geq4$，但$R$中存在次数为2的元素（如$t}2$），$t^2\in R$即属于左边，但$t^2$不在右边的和中——右边没有任何元素的次数为2。

结论 #

显然左边$R$不等于右边的和，因此原等式不成立，这个例子就是你要找的反例。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alex