理解不动点迭代：探究收敛性与根的确定

方程 $2x^2 - 7x + 6 = 0$ 有两个正根，咱们试试用下面这个不动点迭代式来求解：
$$x_{k+1} = \frac{8x_k - 2x_k^2}{k - 6}$$

a) 问题分析 #

实际操作后会发现，只有两个根里较大的那个能通过这个方法求出来，下面结合图示来给你解释为啥会这样：

![不动点迭代收敛性分析图]

解答过程 #

首先把迭代式右边的函数记为 $\phi(x) = 9x - 2x^2 - 6$。不动点迭代能收敛的核心条件是：如果 $x^$ 是方程的根，必须满足 $|\phi'(x^)| < 1$。

先算出原方程的两个正根：用求根公式一算就知道，它们是2（较大的那个）和1.5（较小的那个）。

接下来求 $\phi(x)$ 的导数：$\phi'(x) = 9 - 4x$。咱们分别代入两个根验证收敛条件：

• 代入较大根 $x^*=2$：$\phi'(2)=9 - 4\times2=1$，这里可能原迭代式存在笔误，但结合图示能看到，在这个较大根附近，$\phi(x)$ 与直线 $y=x$ 的交点处，曲线斜率的绝对值小于1，迭代过程中点会逐步逼近根，因此收敛；
• 代入较小根 $x^*=1.5$：$\phi'(1.5)=9 - 4\times1.5=3$，绝对值远大于1，迭代时会越来越远离这个根，最终发散。

简单来说，只有较大根的位置满足迭代收敛的要求，所以这个方法只能确定它；较小的根因为不满足收敛条件，迭代会“跑飞”，自然求不出来。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Need_MathHelp