关于弱大数定律与强大数定律假设条件的疑问：有限均值独立同分布样本下两者是否均适用？

嘿，我来帮你理清这个疑问！首先，你说自己已经理解了依概率收敛和几乎必然收敛的区别，这点很棒，但卡在假设条件上对吧？

先直接给你答案：你提出的这个论断——

对于具有有限均值的独立同分布样本，强大数定律和弱大数定律是否都适用？

是完全正确的。

你之所以困惑，应该是看到了这段描述：

即使期望不存在，弱大数定律也可能成立

这确实是事实，但要注意，这是弱大数定律的拓展适用场景，也就是说弱大数定律的门槛可以比“有限均值”更低，但反过来，当样本满足「独立同分布+有限均值」这个条件时，它肯定满足弱大数定律的要求，同时也满足强大数定律的要求。

具体来说：

• 对于独立同分布的样本，只要随机变量的期望$\mu$是有限的：
  • 弱大数定律（WLLN）必然成立：样本均值$\bar{X}n$依概率收敛到$\mu$，用数学语言表示就是：
    $$\forall \epsilon>0, \quad \lim\limits{n \to +\infty} P\left( \left| \bar{X}_n - \mu \right| > \epsilon \right) = 0$$
  • 强大数定律（SLLN）也必然成立：样本均值$\bar{X}n$几乎必然收敛到$\mu$，即：
    $$P\left( \lim\limits{n \to +\infty} \bar{X}_n = \mu \right) = 1$$

那些“期望不存在但弱大数定律仍成立”的例子，属于特殊的重尾分布情况——这类分布不满足强大数定律的要求（毕竟强大数定律的核心前提之一就是有限均值，部分版本还要求有限方差），但却能符合弱大数定律的更宽松版本。

总结一下：只要你的样本是独立同分布且具有有限均值，那么强弱大数定律都适用，完全不用担心~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MysteryGuy