关于环上双模范畴是否为阿贝尔范畴的技术问询

嗨，这个问题问得很到位！答案是肯定的——环$R$上的$R$-$R$双模范畴确实是阿贝尔范畴。

咱们可以对照阿贝尔范畴的核心定义条件来验证：

• 加法范畴基础：双模范畴首先是加法范畴：任意两个双模之间的态射集合构成阿贝尔群（态射是同时保左右模结构的同态，加法运算封闭且满足群的所有性质）；同时有限直和存在，直和的双模结构也能自然定义出来。
• 核与余核的存在性：对任意双模同态$f: M \to N$，它的核$\ker f$作为左、右$R$-模的核，天然是一个双模（因为对任意$r,s \in R$，$r(\ker f)s \subseteq \ker f$），并且在双模范畴中满足核的泛性质；同理，余核$\text{coker} f = N / \text{im} f$也是双模，满足余核的泛性质。
• 单/满态射的核余核性质：单双模同态一定是某个态射的余核的核，满双模同态一定是某个态射的核的余核——这和左右模范畴的逻辑一致，毕竟双模只是同时附加了左右两个模结构，这些关键性质都能自然继承。

更本质的视角是：$R$-$R$双模范畴等价于$(R \otimes_{\mathbb{Z}} R^{\text{op}})$-左模范畴（或者右模范畴，看具体定义），而我们已经知道任意环上的模范畴都是阿贝尔范畴，通过这个等价关系直接就能推出双模范畴的阿贝尔性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Zoltan Fleishman