关于证明平移不变且满足μ(]0,1])=1的测度μ为勒贝格测度的步骤指导问询

嘿，我来帮你把接下来的证明步骤捋得明明白白，你已经搞定了正自然数的情况，接下来的正有理数、正实数部分其实都是顺着测度的核心性质和有理数的稠密性来推进的，咱们一步一步来：

第一步：证明对所有$x\in\mathbb{Q}_+$，$\mu(]0,x])=x$ #

正有理数都能写成$\frac{p}{q}$的形式，其中$p,q$是正整数，咱们就从这个分数形式入手：

• 先看单位区间的等分：把$]0,1]$拆成$q$个互不相交的左开右闭区间：$\bigcup_{k=0}^{q-1} ]\frac{k}{q}, \frac{k+1}{q}]$。
• 根据平移不变性，每个小区间$]\frac{k}{q}, \frac{k+1}{q}]$的测度都等于$\mu(]0,\frac{1}{q}])$（把区间往左平移$\frac{k}{q}$就得到$]0,\frac{1}{q}]$，平移不变性保证测度不变）。
• 利用测度的有限可加性，$\mu(]0,1]) = \sum_{k=0}^{q-1} \mu(]\frac{k}{q}, \frac{k+1}{q}]) = q \cdot \mu(]0,\frac{1}{q}])$。
• 已知$\mu(]0,1])=1$，所以直接推出$\mu(]0,\frac{1}{q}]) = \frac{1}{q}$。
• 接下来看$]0,\frac{p}{q}]$，它是$p$个互不相交的小区间$]0,\frac{1}{q}], ]\frac{1}{q},\frac{2}{q}], ..., ]\frac{p-1}{q},\frac{p}{q}]$的并，每个小区间测度都是$\frac{1}{q}$，再用有限可加性：$\mu(]0,\frac{p}{q}]) = p \cdot \frac{1}{q} = \frac{p}{q} = x$。
  这样就搞定了所有正有理数的情况，是不是比你想象的简单？

第二步：证明对所有$x\in\mathbb{R}_+$，$\mu(]0,x])=x$ #

这一步要用到有理数的稠密性和测度的连续性，咱们这么来：

• 任取正实数$x$，根据有理数在实数中的稠密性，我们可以找两个有理数序列：
  • 一个递增的正有理数序列${r_n}$，满足$r_n < x$且$\lim_{n\to\infty} r_n = x$；
  • 一个递减的正有理数序列${s_n}$，满足$s_n > x$且$\lim_{n\to\infty} s_n = x$。
• 利用测度的单调性：对每个$n$，都有$\mu(]0,r_n]) \leq \mu(]0,x]) \leq \mu(]0,s_n])$。
• 咱们已经知道对有理数$r_n$和$s_n$，$\mu(]0,r_n])=r_n$，$\mu(]0,s_n])=s_n$，代入上式就得到：$r_n \leq \mu(]0,x]) \leq s_n$。
• 当$n$趋向无穷时，$r_n$和$s_n$都收敛到$x$，根据夹逼准则，$\mu(]0,x])$只能等于$x$。
• 这里补充个小细节：单点集${x}$的测度是0，因为${x} = \bigcap_{n=1}^\infty ]x-\frac{1}{n},x]$，这是一个递减的集合列，测度$\mu(]x-\frac{1}{n},x]) = \mu(]0,\frac{1}{n}]) = \frac{1}{n}$（平移不变性），当$n\to\infty$时，$\frac{1}{n}\to0$，所以$\mu({x})=0$，这也保证了$]0,x]$和$]0,x[$的测度是一样的，不影响咱们的结论。

第三步：推出$\mu$是$\mathbb{R}$上的勒贝格测度 #

现在咱们已经知道对所有正实数$x$，$\mu(]0,x])=x$，接下来推广到任意实数区间：

• 对任意$a < b \in \mathbb{R}$，根据平移不变性，$\mu(]a,b]) = \mu(]0,b-a])$（把区间往左平移$a$，得到$]0,b-a]$）。
• 而咱们已经证明$\mu(]0,b-a])=b-a$，所以$\mu(]a,b])=b-a$，这和勒贝格测度在左开右闭区间上的取值完全一致。
• 由于Borelσ代数是由所有左开右闭区间生成的，而测度在生成集族上的取值唯一确定了整个σ代数上的测度，所以$\mu$就是$\mathbb{R}$上的勒贝格测度。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alexander Zinoni