未知分布的置信区间求解问题

问题：一家轮胎制造商想要宣传一个里程区间，确保该区间不会排除超过10%的在售轮胎的里程数据。目前已知的信息是：大量测试后轮胎的平均里程为25000英里，标准差为4000英里。请问应该推荐什么样的区间？

我来给你一步步推导这个解决方案，这里咱们用切比雪夫定理来处理就很合适，毕竟现在不知道轮胎里程的具体分布形态，这个定理刚好能应对任意分布的情况：

首先先明确已知的核心参数：

• 轮胎里程的总体均值 $\mu = 25000$ 英里
• 轮胎里程的总体标准差 $\sigma = 4000$ 英里

根据切比雪夫定理，对于任意分布，数据落在均值 $k$ 个标准差范围内的概率满足如下关系：
$$P(|Y - \mu| \leq k\sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^2}$$

题目要求区间排除不超过10%的里程数据，我们通过方程求解对应的 $k$ 值：
$$
\begin{align*}
\mu &= 25000 \
\sigma &= 4000 \
P(|Y - \mu| \leq k\sigma) &\geq 1 - \frac{1}{k^2} = 0.9 \
1 - \frac{1}{k^2} &= 0.9 \
-\frac{1}{k^2} &= -0.9 \
\frac{1}{k^2} &= 0.9 \
k^2 &= \frac{10}{9} \
k &= \pm \sqrt{\frac{10}{9}} \
k\sigma &\approx 4216.37
\end{align*}
$$

（注：原推导中存在计算笔误，这里按照题目逻辑修正为符合90%数据落在区间内的正确计算）

接下来计算区间的上下限：

• 下限：$$25000 - 4000 \times \sqrt{\frac{10}{9}} \approx 20783.63$$ 英里
• 上限：$$25000 + 4000 \times \sqrt{\frac{10}{9}} \approx 29216.37$$ 英里

所以最终推荐的里程区间是 (20783.63, 29216.37) 英里（近似值），这个区间能保证至少90%的轮胎里程数据落在其中，符合不超过10%数据被排除的要求。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Bob