关于C([0,2π])中序列$f_n(x)=\sin nx$不存在收敛子列的证明问询

我现在正尝试证明：对于属于连续函数空间$C([0,2\pi])$的序列$f_n = \sin nx$，该序列不存在收敛子列。我在站内看到过用控制收敛定理的证明，但现在我需要找到$\Vert \cdot \Vert_{L^{\infty}}$范数和$\Vert \cdot \Vert_{L^2}$范数之间的关联，可一直没头绪。

我知道，如果$f_n$存在收敛子列$f_{n_k}$，那么当$k\rightarrow\infty$时，$\Vert f_{n_{k+1}} - f_{n_k} \Vert_{L^{\infty}}$应该收敛到0。但问题在于，函数$g_{n_k}(x):=f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_k}(x)$的上确界……

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Fluadl