平凡拓扑下集合X的所有子集是否均为紧集且连通？

嘿，这个问题戳中了不少拓扑学初学者容易混淆的点，咱们慢慢捋清楚哈～

首先先纠正一个关键误解：你把欧氏空间里的紧集（有界闭集）和一般拓扑学中紧集的定义混在一起啦！拓扑里的紧集核心是「任意开覆盖都存在有限子覆盖」，跟“有界”半毛钱关系都没有——“有界”只是欧氏空间这个特殊拓扑下紧集的附加属性，放到平凡拓扑里根本不适用。

那回到平凡拓扑（只有$X$和$\emptyset$两个开集），咱们看任意子集$S \subseteq X$是不是紧的：

• 任取$S$的一个开覆盖，这个覆盖里的开集只能是$X$或者$\emptyset$。但$\emptyset$覆盖不了$S$（除非$S$是空集，但空集本身也满足紧的定义），所以覆盖里一定包含$X$。那直接拿$X$这一个开集就能覆盖$S$，这就是个有限子覆盖呀！
• 哪怕$X=\mathbb{R}$，$(1,+\infty)$在平凡拓扑里也是紧的——因为这里的开覆盖根本不是欧氏拓扑里的那些区间，只有$\mathbb{R}$和$\emptyset$，所以完全符合紧集的定义。

再来说连通性，同样得回到连通的标准定义：一个集合是连通的，当且仅当它不能写成两个不相交的非空开集的并（这里的开集指的是该子集在相对拓扑下的开集）。

那看平凡拓扑下任意子集$S$的相对拓扑：

• 相对开集只能是$S \cap X = S$，或者$S \cap \emptyset = \emptyset$，也就是说$S$的相对开集只有它自己和空集。
• 假设$S$是非空的，你想把它拆成两个非空不相交的子集$A$和$B$，那$A$和$B$必须是相对开集才行，但相对开集里只有$S$和$\emptyset$，$A$非空的话只能是$S$，那$B$就只能是空集，根本满足不了“非空”的要求。
• 比如你举的例子$[1,3] \cup [4,6]$，在平凡拓扑的相对拓扑里，它的开集只有自身和空集，完全没法拆成两个非空的相对开集的并，所以它是连通的。

至于空集，拓扑学里通常也把它视为连通集（毕竟连“拆分”的可能性都没有）。

总结一下：平凡拓扑下，$X$的所有子集确实既是紧集又是连通集～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Heidegger