弗雷歇微分与隐函数定理相关问题：C¹类函数F的可微性证明及微分计算

已知条件 #

• $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$
• $f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ 和 $g: \Omega \rightarrow \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$ 都是$\Omega$上的C¹类函数
• 定义函数 $F: \Omega \times \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ 为：
  $$F(x, y) = g(x)(f(y)) + f(x)$$

问题(a) #

证明$F$在$\Omega \times \Omega$上是C¹类函数，并求出$DF$（全弗雷歇微分）、$D_1F$（关于$x$的偏弗雷歇微分）和$D_2F$（关于$y$的偏弗雷歇微分）。

问题(a)的解答 #

一、证明$F$是$\Omega \times \Omega$上的C¹类函数

我们可以把$F$拆成两个部分：$F(x,y) = H(x,y) + f(x)$，其中$H(x,y) = g(x)(f(y))$。

1. 分析$f(x)$的可微性：
   $f(x)$仅依赖于变量$x$，且已知$f$是$\Omega$上的C¹函数，将其扩展到$\Omega \times \Omega$上（视为与$y$无关的函数），显然它关于$(x,y)$的偏微分存在且连续，属于C¹类。

2. 分析$H(x,y) = g(x)(f(y))$的可微性：

   • $g(x)$是从$\Omega$到线性空间$\mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^{n)$的C¹函数，$f(y)$是从$\Omega$到$\mathbb{R}}n$的C¹函数；
   • 线性算子的作用（即把$A \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$和$v \in \mathbb{R}^n$映射到$A(v)$）是双线性连续映射；
   • 根据复合函数的可微性规则：双线性连续映射与C¹函数的复合仍然是C¹函数，因此$H(x,y)$是$\Omega \times \Omega$上的C¹函数。

3. 结论：两个C¹函数的和仍然是C¹函数，因此$F(x,y)$是$\Omega \times \Omega$上的C¹类函数。

二、计算各微分表达式

1. 关于$y$的偏微分$D_2F(x,y)$

固定$x$时，$g(x)$是一个固定的线性算子，$f(x)$是固定向量，因此对$y$求导时只有$g(x)(f(y))$项有贡献：
对于任意$h \in \mathbb{R}^n$，有：
$$D_2F(x,y)(h) = g(x)\left(Df(y)(h)\right)$$
如果用矩阵形式理解：把$g(x)$看作$n \times n$矩阵，$Df(y)$是$f$在$y$处的雅可比矩阵，那么$D_2F(x,y)$就是矩阵乘积$g(x) \cdot Df(y)$。

2. 关于$x$的偏微分$D_1F(x,y)$

固定$y$时，$f(y)$是固定向量，对$x$求导时需分别处理两项：
对于任意$k \in \mathbb{R}^n$，根据微分的线性性：
$$D_1F(x,y)(k) = Dg(x)(k)\left(f(y)\right) + Df(x)(k)$$
这里$Dg(x)(k)$是$g$在$x$处沿$k$方向的微分（属于$\mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$的线性算子），再作用于向量$f(y)$；$Df(x)(k)$则是$f$在$x$处沿$k$方向的微分。

3. 全微分$DF(x,y)$

全微分是从$\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^{n$到$\mathbb{R}}n$的线性算子，对于任意$(k,h) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$，由偏微分的加法法则可得：
$$DF(x,y)(k,h) = D_1F(x,y)(k) + D_2F(x,y)(h)$$
代入之前的结果，展开后为：
$$DF(x,y)(k,h) = Dg(x)(k)\left(f(y)\right) + Df(x)(k) + g(x)\left(Df(y)(h)\right)$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Altaid