关于简单随机游走概率表达式的困惑：为何未包含二项式系数？

你完全说对了！这两个表达式确实漏掉了二项式系数，大概率是书写时的疏忽，没把关键的路径数量部分写进去。

咱们拿你举的例子来掰扯清楚：当j=0，n=10，i=4时，要让$S_{10}=4$，意味着从初始位置0出发走10步，其中得有7步是+1（概率p）、3步是-1（概率q）。每一条符合要求的路径（比如你列的先一直走到7再往回走，或者中途来回波动最后到4），单独的概率都是$p^7 q^3$，但这样的路径可不是只有一条——总共有$C(10,7)$（也就是$C(10,3)$）种不同的走法，所以总概率得把所有路径的概率加起来，也就是乘以这个二项式系数。

再回到你给出的那两个表达式，代入数值后得到的$p^{\frac{10}{2} + \frac{4}{2}} q^{\frac{10}{2} - \frac{4}{2}}$其实就是$p^7 q^3$，这只是单条路径的概率，完全没考虑有多少条这样的路径，所以肯定是不完整的。

放到一般情况里说：从初始位置j出发，经过$n-j$步后到达i，我们需要先算出有多少步是+1（设为k）、多少步是-1（设为m），根据总步数和位置变化能解出$k=\frac{(n-j)+(i-j)}{2}$，$m=\frac{(n-j)-(i-j)}{2}$，对应的路径数量就是从$n-j$步里选k步走+1的组合数$C(n-j, k)$，完整的概率表达式必须把这个组合数乘进去，才是所有可能路径的总概率。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Bastiza