关于矩阵逆的逆等于原矩阵的证明合理性验证及其他证明方法咨询

嗨，Colton！咱们先来聊聊你给出的证明是否存在问题，再分享几个更严谨的证明思路～

你的证明存在循环论证问题 #

你提供的推导里，第一步就直接把要证明的结论$(A^{-1}){-1}=A$当作了前提，接着两边乘B来推导后续等式——这确实是典型的循环论证，因为你试图证明的命题成了推导的起点，逻辑上是站不住脚的。另外你也没明确说明B的定义，我猜你可能是把B当作$A^{-1}$，但即便如此，整个推导的逻辑基础已经错了，没法有效支撑结论。

基于逆矩阵定义的直接证明（你提到的“直接从定义来”的方法） #

其实这个结论真的可以直接从逆矩阵的定义推导出来，咱们一步步理清楚：
根据逆矩阵的严格定义：对于方阵$A$，如果存在方阵$C$，使得$AC=I$且$CA=I$（$I$是单位矩阵），那么$C$就是$A$的逆矩阵，记作$C=A^{-1}$。

现在要证$(A^{-1}){-1}=A$，只需要验证**$A$完全符合$A^{-1}$的逆矩阵的定义**：

• 计算$A^{-1} \cdot A$：根据$A^{{-1}$的定义，$A}{-1}$是$A$的逆，所以$A^{-1}A=I$；
• 计算$A \cdot A^{{-1}$：同样根据定义，$AA}{-1}=I$。

这就说明，$A$和$A^{{-1}$相乘（不管左右顺序）都得到单位矩阵$I$，所以按照逆矩阵的定义，$A$就是$A}{-1}$的逆矩阵，也就是$(A^{-1}){-1}=A$。核心就是利用逆矩阵定义里“互为逆矩阵”的双向性，是不是一下子就通顺了？

利用逆矩阵唯一性的证明思路 #

我们还可以借助“方阵的逆矩阵是唯一的”这个性质来证明：

1. 已知$A^{{-1}$是$A$的逆矩阵，因此满足$A}{-1}A=AA^{-1}=I$；
2. 假设$D$是$A^{-1}$的逆矩阵，那么根据定义，$D$需要满足$D A^{-1}=A{-1} D=I$；
3. 对比上面两个式子，$A$完全满足$D$的所有条件，而逆矩阵是唯一的，所以$D=A$，即$(A^{-1}){-1}=A$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Colton Fitzjarrald