关于向量空间n个子空间之并为子空间的充要条件的证明与证伪问询

嘿，这个问题是Axler《Linear Algebra Done Right》（第4版）第1.C章习题12、13的扩展，咱们来好好梳理下：

首先明确原问题核心：

Prove or disprove that for subspaces $U_1, U_2, ... U_n$ of a vector space $V$ over $F$,
$$U_1 \cup U_2 \cup... U_{n-1} \cup U_n$$
is a subspace of $V$ if and only if $U_1 \cup U_2 \cup... U_{n-1} \cup U_n$ is $U_j$ for some $j = 1,2,3, ..., n$.

先给你个明确结论：这个命题是完全成立的，没有反例，用数学归纳法就能严谨证明，思路其实比你想的要清晰：

1. 基础情况（n=2） #

这就是Axler书里的习题结论：如果两个子空间$U_1, U_2$的并集是子空间，那么其中一个子空间必然包含另一个，即$U_1 \cup U_2 = U_1$或者$U_1 \cup U_2 = U_2$。咱们把这个作为归纳的起点。

2. 归纳假设 #

假设当$n=k$（$k \geq 2$）时命题成立：任意$k$个子空间的并集是子空间，当且仅当该并集等于其中某一个子空间。

3. 归纳步骤（从n=k到n=k+1） #

考虑$k+1$个子空间$U_1, U_2, ..., U_k, U_{k+1}$，令$S = U_1 \cup U_2 \cup ... \cup U_k$，那么这$k+1$个子空间的并集为$W = S \cup U_{k+1}$。

已知$W$是子空间，根据n=2的结论，要么$S \subseteq U_{k+1}$，要么$U_{k+1} \subseteq S$：

• 如果$S \subseteq U_{k+1}$，那么$W = U_{k+1}$，直接符合命题结论；
• 如果$U_{k+1} \subseteq S$，那么$W = S$，而$W$是子空间意味着$S$本身也是子空间。根据归纳假设，$S$必然等于$U_1$到$U_k$中的某一个子空间$U_j$，所以$W = U_j$，同样符合命题结论。

这样就完成了归纳证明，说明对于任意正整数$n$，这个命题都成立。

你之前觉得归纳法思路难抓，其实核心就是把$n$个子空间的并拆成“前$n-1$个的并”和“第$n$个”的并，用n=2的结论作为桥梁，再结合归纳假设就能顺理成章推导出来啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user9487