多项式环ℂ[x,y]中二元与三元生成理想的极大性判定问题

咱们先从第一个具体例子展开分析：

设 ( I = \langle x-y, xy \rangle \subset \mathbb{C}[x,y] )，这是由多项式 ( u=x-y ) 和 ( v=xy ) 生成的理想。

先验证一个重要的包含关系：( x^2 \in I )。咱们直接用理想的生成元来构造组合就能证明：
( I \ni xu + v = x(x-y) + xy = x^2 - xy + xy = x^2 )，这样就清晰地得出 ( x^2 ) 属于这个理想。

接下来判断这个理想的性质：

• 首先，( I ) 不是根理想——因为虽然 ( x^2 ) 在 ( I ) 里，但 ( x ) 并不属于 ( I )；
• 进一步，( I ) 不是极大理想，这是因为极大理想必然是根理想，而咱们已经证明了 ( I ) 不满足根理想的条件。

再看看这个理想对应的公共零点集：生成元 ( u ) 和 ( v ) 只有一个公共零点，就是点 ( (0,0) )。解方程组 ( \begin{cases} x-y=0 \ xy=0 \end{cases} )，把 ( x=y ) 代入第二个方程得到 ( x^2=0 )，自然就得出 ( x=y=0 )。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user237522