关于解析函数模为常数时函数是否必为常数的矛盾疑问

最近我碰到一个让我困惑的问题，之前了解到这么一个关于解析函数的结论：

如果函数$f$在区域$D$内解析，且$|f(z)|$在$D$内恒为常数，那么$f(z)$在$D$内是常数。

可是当我想到函数$f(z)=e^{iz}$的时候，就有点懵了——这个函数在任何复平面的区域$D\subseteq\mathbb{C}$上都是解析的，而且对所有$z\in D$，$|f(z)|=1$，是个固定的常数，但$f(z)=e^{iz}$明显不是常数啊！这看起来和之前的结论完全矛盾，这到底是哪里出问题了？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者General Mathematics