组合概率问题两种解法结果不一致的困惑求解

我现在有点搞不懂，为什么我用两种思路解同一个概率问题，得到的结果不一样，想请教大家帮忙看看问题出在哪！

假设我们有规模为A的受众群体，还有B条广告曝光量要推送给他们，每条广告的投放都是独立的。补充说明（ETA）：每条广告只会推送给一个人，而一个人可以收到多条广告，且已知 $B \geq A$。

问题：所有受众成员都至少收到一条广告的概率是多少？当广告曝光量少于受众规模的情况很简单，我这里就不考虑了。

我是这么尝试解题的：
$$P(\text{每个人至少收到1条广告}) = 1 - P(\text{有人没收到广告})$$

一开始我觉得：
$$P(\text{有人没收到广告}) = (1-\frac{1}{A})^B$$

这个结论是从二项分布推导来的：我把「某个人收到广告」定义为成功事件，既然每条广告投放都是独立的，那单次投放时这个人收到广告的概率就是 $\frac{1}{A}$……

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Wildcat09