π₀函子下满射映射的诱导映射的满射性及其基数的拓扑不变性

最近我在啃tom Dieck的《代数拓扑》时，刚好碰到这么个知识点：之前我已经用常规方法证明了——如果$f:X\to Y$是拓扑空间之间的连续满射，那么只要$X$是道路连通的，$Y$也一定是道路连通的。这个证明思路挺直观的：任取$Y$中两点$y_1,y_2$，因为$f$是满射，所以存在$x_1,x_2\in X$使得$f(x_1)=y_1$、$f(x_2)=y_2$；又因为$X$道路连通，所以有一条从$x_1$到$x_2$的道路$\gamma:[0,1]\to X$，那么复合映射$f\circ\gamma$就是$Y$中从$y_1$到$y_2$的道路，直接就证完了。

不过这个问题出现在函子相关的章节里，书中提到了道路分支函子$\pi_0:\textbf{Top}\to \textbf{Set}$：

• 它把每个拓扑空间$X$对应到它的道路分支集合$\pi_0(X)$，也就是把$X$中所有互相道路连通的点归为一个等价类，这些等价类构成的集合就是$\pi_0(X)$；
• 对于任意连续映射$f:X\to Y$，它诱导出集合间的映射$\pi_0(f):\pi_0(X)\to\pi_0(Y)$，具体来说就是把$X$中$x$所在的道路分支$[x]$，映射到$Y$中$f(x)$所在的道路分支$[f(x)]$。

这时候我就顺着这个函子的思路往下想：既然$f$是连续满射，那诱导出来的$\pi_0(f)$是不是也得是满射？另外，道路分支集合的基数（也就是$\pi_0(X)$里元素的个数）是不是拓扑不变量？

关于$\pi_0(f)$的满射性 #

其实这个结论很好证：

• 任取$\pi_0(Y)$中的一个元素，也就是$Y$的某个道路分支$[y]$。因为$f$是满射，所以一定存在$x\in X$使得$f(x)=y$，那么$\pi_0(f)([x])=[f(x)]=[y]$——这就说明$\pi_0(Y)$里的每个元素都能被$\pi_0(f)$“打到”，所以$\pi_0(f)$确实是满射。
• 反过来想，如果$\pi_0(f)$是满射，原映射$f$不一定是满射吗？举个例子：假设$X=[0,1]\cup[2,3]$（两个不交的闭区间），$Y=[0,1]\cup[3,4]\cup[5,6]$（三个不交的闭区间），如果$f$只把$X$的两个区间分别映射到$Y$的前两个区间，那$\pi_0(f)$只能覆盖$\pi_0(Y)$的前两个元素，不是满射；但如果$f$的像能覆盖$Y$的所有道路分支（不管是不是整个$Y$），那$\pi_0(f)$就是满射。不过连续满射的话，像集是整个$Y$，自然覆盖所有道路分支，所以$\pi_0(f)$必为满射。

关于道路分支基数的拓扑不变性 #

这个性质也很明确：

• 如果$X$和$Y$是同胚的拓扑空间，那么它们的道路分支集合之间一定存在双射。因为同胚映射$f:X\to Y$是连续双射，且逆映射$f^{-1}:Y\to X$也连续，那么诱导映射$\pi_0(f)$和$\pi_0(f^{-1})$互为逆映射，所以是双射，这就意味着$|\pi_0(X)|=|\pi_0(Y)|$——也就是说，道路分支的数量是拓扑不变量，同胚的空间道路分支数一定相同。
• 但反过来就不成立了：道路分支数相同的空间不一定同胚。比如$X=[0,1]\cup[2,3]$（两个不交的闭区间），$Y=S^1\cup S^1$（两个不交的单位圆），它们的道路分支数都是2，但显然$X$里的分支是可缩的，$Y$里的分支是不可缩的，肯定不同胚。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user815597