三维三重实根常系数线性微分方程组的第三个线性无关解求解疑问

Hi there! 你遇到的是代数重数大于几何重数的特征值情况——特征值λ=5是三重根，但对应的线性无关特征向量只有2个，这时候我们需要找广义特征向量来构造第三个线性无关解，具体步骤如下：

第一步：明确矩阵与特征空间 #

首先写出你的系数矩阵减去λI（这里λ=5）：
[
A - 5I = \begin{bmatrix}
0 & 2 & 0 \
0 & 0 & 0 \
0 & 3 & 0
\end{bmatrix}
]
你已经找到的两个线性无关特征向量是 (w_1 = \begin{bmatrix}1\0\0\end{bmatrix}) 和 (w_2 = \begin{bmatrix}0\0\1\end{bmatrix})，它们满足 ((A-5I)w = 0)，对应的解是 (X_1(t) = e^{5t}w_1) 和 (X_2(t) = e^{5t}w_2)，这部分你已经搞定了。

第二步：寻找广义特征向量 #

因为特征值的代数重数（3）>几何重数（2），我们需要找一个广义特征向量v，满足：
[
(A - 5I)v = u
]
其中u是某个特征向量（属于λ=5的特征空间）。

我们来解这个方程：设 (v = \begin{bmatrix}a\b\c\end{bmatrix})，u是特征向量，所以u的第二分量必须为0（由(A-5I)w=0的条件可得，特征向量的x₂=0），即 (u = \begin{bmatrix}d\0\e\end{bmatrix})。

代入方程展开：

• 第一行：(2b = d)
• 第二行：恒成立（0=0）
• 第三行：(3b = e)

我们可以取b=1（简单起见），那么d=2，e=3，得到u=(\begin{bmatrix}2\0\3\end{bmatrix})（这个u其实是2w₁+3w₂，确实属于特征空间）；再取a=0、c=0（任意值都可以，选最简单的），得到v=(\begin{bmatrix}0\1\0\end{bmatrix})。

第三步：构造第三个线性无关解 #

对于这种情况，第三个解的形式是：
[
X_3(t) = e^{\lambda t}(v + t u)
]
代入λ=5、v和u的具体值，得到：
[
X_3(t) = e^{5t}\left( \begin{bmatrix}0\1\0\end{bmatrix} + t \begin{bmatrix}2\0\3\end{bmatrix} \right) = e^{5t}\begin{bmatrix}2t\1\3t\end{bmatrix}
]

验证解的正确性 #

你可以自己验证一下：计算X₃’(t)和A·X₃(t)，会发现两者相等，说明这个解满足原方程组。另外，当t=0时，三个解对应的向量是(\begin{bmatrix}1\0\0\end{bmatrix})、(\begin{bmatrix}0\0\1\end{bmatrix})、(\begin{bmatrix}0\1\0\end{bmatrix})，这三个是线性无关的，所以三个解整体是线性无关的，正好构成方程组的通解基。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user135172