如何利用全概率公式推导飞镖游戏中扔镖次数的期望

咱们先明确游戏规则：A和B轮流扔飞镖，率先命中的人获胜。A每次命中的概率是$a$，B每次命中的概率是$b$。你已经通过求和的方式得出，游戏中扔镖总次数的期望是$\frac{\alpha}{a}+\frac{\beta}{b}$，其中$\alpha$是A获胜的概率，$\beta$是B获胜的概率（显然$\alpha+\beta=1$）。现在咱们用全概率公式来推导这个结论，过程会更直观。

方法一：直接定义总期望并拆分情况 #

设$E$为游戏中扔镖总次数的期望，根据全概率公式，我们可以按前两次扔镖的结果拆分三种互斥情况：

• 情况1：A第一次就命中，概率为$a$，此时仅扔了1次镖，对期望的贡献为$a \times 1$。
• 情况2：A第一次没命中，B第一次命中，概率为$(1-a)b$，此时扔了2次镖，贡献为$(1-a)b \times 2$。
• 情况3：A和B第一次都没命中，概率为$(1-a)(1-b)$，这时候相当于游戏“重置”了——前面扔的2次不算白扔，但后续的扔镖期望和从头开始完全一样，所以总次数的期望是$2 + E$，贡献为$(1-a)(1-b) \times (2 + E)$。

根据全概率公式，总期望$E$等于这三种情况的贡献之和：
$$
E = a \times 1 + (1-a)b \times 2 + (1-a)(1-b)(2 + E)
$$

接下来解这个方程：

1. 先展开右边的项：
   $$
   E = a + 2b(1-a) + 2(1-a)(1-b) + (1-a)(1-b)E
   $$
2. 将含$E$的项移到左边，提取公因子：
   $$
   E\left[1 - (1-a)(1-b)\right] = a + 2(1-a)\left[b + (1-b)\right]
   $$
3. 注意到$b + (1-b)=1$，右边简化为$a + 2(1-a) = 2 - a$；左边$1 - (1-a)(1-b) = a + b - ab$，因此：
   $$
   E = \frac{2 - a}{a + b - ab}
   $$

方法二：结合条件期望与全概率 #

咱们换个更简洁的思路，定义两个条件期望：

• $E_A$：当轮到A扔镖时，后续（包括当前这次）扔镖总次数的期望（游戏从A开始，所以总期望$E=E_A$）。
• $E_B$：当轮到B扔镖时，后续扔镖总次数的期望。

对$E_A$用全概率拆分：

• A命中的概率为$a$，此时仅需1次，贡献$a \times 1$；
• A没命中的概率为$1-a$，接下来轮到B，总次数为$1 + E_B$，贡献$(1-a)(1 + E_B)$。
  所以：
  $$
  E_A = a \times 1 + (1-a)(1 + E_B) = 1 + (1-a)E_B
  $$

对$E_B$同理拆分：

• B命中的概率为$b$，贡献$b \times 1$；
• B没命中的概率为$1-b$，接下来轮到A，总次数为$1 + E_A$，贡献$(1-b)(1 + E_A)$。
  所以：
  $$
  E_B = b \times 1 + (1-b)(1 + E_A) = 1 + (1-b)E_A
  $$

把$E_B$代入$E_A$的式子：
$$
E_A = 1 + (1-a)\left[1 + (1-b)E_A\right]
$$
展开并整理：
$$
E_A = 1 + (1-a) + (1-a)(1-b)E_A \
E_A\left[1 - (1-a)(1-b)\right] = 2 - a \
E_A = \frac{2 - a}{a + b - ab}
$$

关联到$\frac{\alpha}{a}+\frac{\beta}{b}$ #

现在咱们把结果和你之前得到的$\frac{\alpha}{a}+\frac{\beta}{b}$联系起来：

• A获胜的概率$\alpha$：可以看作无穷次轮流的概率和，$\alpha = a + (1-a)(1-b)a + (1-a)^2(1-b)2a + \dots$，这是等比数列求和，结果为$\alpha = \frac{a}{a + b - ab}$，因此$\frac{\alpha}{a} = \frac{1}{a + b - ab}$。
• B获胜的概率$\beta$：同理$\beta = \frac{b(1-a)}{a + b - ab}$，因此$\frac{\beta}{b} = \frac{1-a}{a + b - ab}$。

把两者相加：
$$
\frac{\alpha}{a} + \frac{\beta}{b} = \frac{1 + (1-a)}{a + b - ab} = \frac{2 - a}{a + b - ab}
$$
正好和咱们用全概率公式推导出来的$E$相等，完美对应上了！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user