关于有限域扩张K/F中元素α的迹的定义问题

嘿，刚入门域论的话，这个迹的定义确实容易让人犯懵，我来给你把它拆明白～

首先先把问题里的前提条件再理一遍，确保咱们在同一个频道上：

设$K/F$是有限域扩张，$\alpha ∈ K$。假设$L$是包含$K$的$F$的伽罗瓦扩张，$H$是$\mathrm{Gal}(L/F)$中对应于$K$的子群（也就是伽罗瓦对应里，$H = {\sigma ∈ \mathrm{Gal}(L/F) \mid \sigma(k)=k, \forall k∈K}$，简单说就是所有在$K$上作用平凡的伽罗瓦群元素）。

那完整的迹的定义应该是这样的：
$$\text{Tr}{K/F}(\alpha) = \sum{\sigma \in \mathrm{Gal}(L/F)/H} \sigma(\alpha)$$

我给你拆解一下这个式子的意思：

• 这里的$\mathrm{Gal}(L/F)/H$是伽罗瓦群关于子群$H$的左陪集集合，每个陪集代表了一个不同的、从$K$到$L$的$F$-嵌入（因为$L$是伽罗瓦的，所有嵌入都能延拓成$L$的自同构）。
• 求和的项数正好等于$[K:F]$，因为根据伽罗瓦基本定理，$[K:F] = |\mathrm{Gal}(L/F)| / |H|$，也就是陪集的个数，这和迹作为线性映射的迹（把$\alpha$看作$K$上左乘的$F$-线性映射，它的迹就是$[K:F]$个特征值的和）是完全一致的。
• 而且不用担心$L$的选择会影响结果：不管你选哪个包含$K$的伽罗瓦闭包，最终求和的结果都会落在$F$里，并且不同$L$之间的同构会保证这个值是唯一的。

举个熟悉的例子验证一下：如果$K/F$本身就是伽罗瓦扩张，那$H$就是平凡子群${e}$，这时候迹的定义就变成了$\sum_{\sigma \in \mathrm{Gal}(K/F)} \sigma(\alpha)$，这和伽罗瓦扩张下迹的标准定义完全吻合，是不是一下子就通顺了？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ZYX