20年月度数据的季节性模型最小二乘拟合求解

嘿，咱们来把这个月度季节模型的最小二乘拟合结果拆解得明明白白的～ 其实核心就是利用题目给出的估计性质，直接推导参数、拟合值和残差，过程非常直观：

先把题目里的模型明确一下，方便后续推导：

给定20年月度数据 ( X[t] )（共240个观测，( t=1,2,...,240 )），模型设定为：
$X[12j+i] = \mu + s[i] + Y[12j+i]$
其中：

• ( i=1,...,12 )：代表1-12月的季节索引
• ( j=1,...,20 )：代表第1到20年的年份索引
• ( Y[t] \sim WN(0,\sigma^2) )：独立同分布的白噪声序列

根据题目给出的最小二乘估计性质，我们可以直接得到以下参数估计：

• 总体均值( \mu )的估计：所有240个观测值的算术平均，即
  $\hat{\mu} = \frac{1}{240} \sum_{t=1}^{240} X[t]$
• 季节项( s[i] )的估计：题目说明( \mu + s[i] )的最小二乘估计是第( i )个月所有观测值的均值（共20个，每年对应1个），记第( i )个月的均值为$\bar{X}_i = \frac{1}{20} \sum_{j=1}^{20} X[12j+i]$，那么移项可得季节项的估计：
  $\hat{s}[i] = \bar{X}_i - \hat{\mu}$

注意：这里的季节项估计自动满足约束$\sum_{i=1}^{12} \hat{s}[i] = 0$，这是模型识别的必要条件（避免参数冗余），你可以自己验证一下：把12个季节项估计相加，结果刚好为0。

对于任意一个观测值( X[12j+i] )，它的最小二乘拟合值就是模型系统部分的估计值，也就是：
$\hat{X}[12j+i] = \hat{\mu} + \hat{s}[i] = \bar{X}_i$
换句话说，每个月份的所有观测值，拟合值都是该月份的历年均值——这个结果非常符合直觉，因为我们用季节平均来捕捉月度的周期性波动。

拟合残差是观测值减去拟合值，也就是白噪声的估计：
$\hat{Y}[12j+i] = X[12j+i] - \hat{X}[12j+i] = X[12j+i] - \bar{X}_i$
白噪声方差( \sigma^2 )的无偏估计为：
$\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{240 - 12} \sum_{t=1}^{240} \hat{Y}[t]^2 = \frac{1}{228} \sum_{i=1}^{12} \sum_{j=1}^{20} (X[12j+i] - \bar{X}_i)^2$
这里的自由度是总观测数（240）减去独立参数的个数：总体均值( \mu )是1个，季节项因为有求和为0的约束，所以独立参数是11个，总共12个独立参数，因此自由度为240-12=228。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Summer-Jade Gleek'away