在给定分布中计算经验β值并与理论β值对比的技术实现问询

嗨，我看你需要完成的是在正态分布总体里计算经验β值（也就是第二类错误的概率），再和理论推导的β值做对比的任务。下面我把整个实现流程整理清楚，附上完整可运行的R代码，还有关键步骤的解释：

核心需求拆解 #

• 生成指定参数的正态分布总体
• 重复抽样并执行单样本t检验，通过收集p值计算经验β
• 借助功效分析工具计算理论β
• 对比两者的数值差异

完整实现代码 #

# 先检查并安装所需的pwr包
if (!require("pwr")) install.packages("pwr")

# ---------------------- 参数设置 ----------------------
N <- 1000    # 总体规模
n <- 25      # 单次抽样的样本量
k <- 500     # 重复抽样的次数
a_teo <- 0.05# 显著性水平

# ---------------------- 创建总体 ----------------------
poblacion <- rnorm(N, mean = 10, sd = 10)  # 生成均值10、标准差10的正态总体
m.pob <- mean(poblacion)                   # 计算总体均值
sd.pob <- sd(poblacion)                    # 计算总体标准差

# ---------------------- 模拟抽样与p值收集 ----------------------
p <- vector(length = k)  # 初始化存储p值的向量
for (i in 1:k) {
  muestra <- poblacion[sample(1:N, n)]  # 从总体中随机抽取n个样本
  p[i] <- t.test(muestra, mu = 15)$p.value  # 执行单样本t检验，提取p值
}

# ---------------------- 计算经验β值 ----------------------
# 经验β是：原假设为假时，错误接受原假设的比例（即p值>显著性水平的次数占比）
beta_emp <- length(p[p > a_teo]) / k

# ---------------------- 计算理论β值 ----------------------
d <- (10 - 15) / sd.pob  # 计算效应量Cohen's d
# 用pwr包计算检验功效，理论β=1-功效（功效是正确拒绝原假设的概率）
beta_teo <- 1 - pwr.t.test(n = n,
                           d = d,
                           sig.level = a_teo,
                           type = "one.sample")$power

# ---------------------- 输出对比结果 ----------------------
sprintf("beta_teo = %.3f -- beta_emp = %.3f -- 差异值 = %.3f", 
        beta_teo, beta_emp, abs(beta_teo - beta_emp))

关键步骤说明 #

• 参数配置：你可以根据实际需求调整总体规模、样本量、抽样次数这些参数，显著性水平通常默认用0.05
• 总体生成：用rnorm()构造符合要求的正态总体，后续所有抽样操作都基于这个固定总体
• 抽样与检验：循环执行抽样和t检验，这里我们检验的是“样本均值是否等于15”，但真实总体均值是10，所以原假设本身是错误的
• 经验β计算：当原假设为假时，如果p值大于显著性水平，就意味着我们错误地接受了原假设，这就是第二类错误，用这类情况的占比作为经验β
• 理论β计算：先通过Cohen's d量化效应大小，再用pwr.t.test()得到检验功效，用1减去功效就得到理论上的第二类错误概率

备注：内容来源于stack exchange，提问作者BehSci