区间(0,10)内函数[sinx]+[sin2x]的间断点个数疑问

我太懂你这种选择题想靠图像快速找间断点的思路了，毕竟代数推导确实费时间，不过漏一个点真的很正常——我帮你捋捋哪里出问题了。

首先你的核心思路完全没问题：取整函数$[\sin\theta]$的结果只能是-1、0、1，所以间断点肯定只出现在$\sin x$或$\sin2x$触及这三个整数值的位置，也就是图像碰线或者跨线的地方。

你找到的8个点应该是$\pi/4, \pi/2, 3\pi/4, \pi,5\pi/4,3\pi/2,9\pi/4,5\pi/2$，但漏掉了$3\pi≈9.42$这个点，它在(0,10)区间内，是实打实的间断点。

我帮你验证下这个容易被忽略的点：

• 当$x$从左侧趋近于$3\pi$时，$\sin x$在$(2\pi,3\pi)$区间内是正的（但小于1），所以$[\sin x]=0$；$\sin2x$在$(4\pi,6\pi)$的后半段（也就是$x$在$(2.5\pi,3\pi)$时）是正的（也小于1），所以$[\sin2x]=0$，两者和为$0+0=0$。
• 函数在$x=3\pi$处的取值是$[\sin3\pi]+[\sin6\pi]=0+0=0$。
• 当$x$从右侧趋近于$3\pi$时，$\sin x$在$(3\pi,10)$区间内是负的（大于-1），所以$[\sin x]=-1$；$\sin2x$在$(6\pi,7\pi)$区间内是负的（大于-1），所以$[\sin2x]=-1$，两者和为$-1+(-1)=-2$。

左右极限不相等，所以这个点是明确的间断点，加上它之后正好是9个，和答案一致了。

另外我再帮你排除一个容易误判的点：$x=7\pi/4≈5.49$，这个点看起来像候选，但实际上$\sin2x=-1$，左右邻域内$\sin2x$都在(-1,0)之间，取整后都是-1；$\sin x$也在(-1,0)之间，取整后都是-1，所以和函数在这个点是连续的，不算间断点。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Crustocean 01