λ演算中构造满足P(g,h,i)→*(h,i,i+1)的函数P的验证请求

首先，我们明确核心目标：找到函数P，使得P(g, h, i) →* (h, i, i+1)（其中i+1由你给出的后继函数succ = λn.λf.λx.f(n f x)实现）。让我们一步步拆解你的思路和给出的P，看看是否符合预期：

你的思路核心亮点 #

你的方向是完全正确的：

• 用λx接收参数g，之后完全不调用它，完美实现“消去g项”的需求；
• 用λy和λz分别绑定h和i，准确捕获目标元素；
• 引入succ函数生成i+1，抓住了问题的关键需求。

但最终的组合方式出现了偏差，我们来具体看β-归约过程：

你的P的β-归约展开 #

你给出的P = λx.λy.λz.yz(λz.λf.λu.f(z f u))z，代入参数g, h, i后逐步归约：

P g h i → (λy.λz.yz(λz.λf.λu.f(z f u))z) h i
→ (λz.h z (λz.λf.λu.f(z f u)) z) i
→ h i (λz.λf.λu.f(z f u)) i

注意到λz.λf.λu.f(z f u)就是你定义的succ，所以式子可以简化为：

h i succ i

这个结果表示将h作为函数，依次应用到i和succ i上，而不是生成包含h, i, i+1的三元组，和你预期的(h, i, i+1)不符。

修正后的正确P #

在λ演算中，三元组(a, b, c)通常用Church元组表示为λk.k a b c（这个结构可以通过传入不同的选择器函数提取对应元素）。基于你的思路，修正后的P应该是：

P = λx.λy.λz.λk.k y z (succ z)

我们来验证它的β-归约过程：

P g h i → (λy.λz.λk.k y z (succ z)) h i
→ (λz.λk.k h z (succ z)) i
→ λk.k h i (succ i)

这个结果就是标准的Church三元组，完全对应你想要的(h, i, i+1)，符合预期。

总结一下：你的思路方向没问题，只是最终没有正确构造三元组结构，而是错误地将h作为函数应用到了i和succ i上，修正后即可实现目标。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Erza Blackwing