n阶可逆矩阵组合的行列式多项式根的有限性证明问询
嘿，我来一步步拆解这个问题的解决逻辑，刚好你已经摸到了关键思路的门槛，咱们把它补全就行～
首先明确问题：已知$A,B$都是$n$阶可逆矩阵（即$A,B \in GL_n$），定义多项式$f(x) = \det(xA + (1-x)B)$，需要证明方程$f(x)=0$只有有限个解（包括无解的情况）。
你已经想到的两点完全正确：
- 当$A=B$时，$f(x)=\det(A)=\det(B)\neq0$，此时方程$f(x)=0$没有解，这显然属于“有限个解”的范畴；
- 如果$f(x)$是非常数的非零多项式，那根据多项式的基本性质，它的根的个数不会超过其次数，自然是有限的。
现在核心就是要证明：当$A\neq B$时，$f(x)$一定是非常数多项式。咱们可以通过变形来直观推导：
把$f(x)$里的矩阵组合改写一下：
$$xA + (1-x)B = B + x(A - B)$$
因为$B$是可逆矩阵，我们可以把它提出来，利用行列式的乘积性质：
$$f(x) = \det\left(B\left(I_n + xB^{-1}(A - B)\right)\right) = \det(B) \cdot \det\left(I_n + xB^{-1}(A - B)\right)$$
这里$\det(B)\neq0$，所以$f(x)$和$\det\left(I_n + xC\right)$（其中$C = B^{-1}(A - B)$）的根完全一致，只是差了一个非零常数因子，不影响根的存在性和数量。
接下来看$C$：因为$A\neq B$，所以$A-B$不是零矩阵，而$B$可逆，所以$C = B^{-1}(A-B)$也不是零矩阵。现在分析$\det(I_n + xC)$这个多项式：
- 它是关于$x$的多项式，展开后最高次项的次数等于$C$的秩（至少为1，因为$C\neq0$），所以这个多项式的次数至少是1，绝对不是常数。
换个更接地气的例子验证：比如$n=2$，$A=\begin{pmatrix}2&0\0&2\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix}$，那么$f(x)=\det\left(x\begin{pmatrix}2&0\0&2\end{pmatrix}+(1-x)\begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix}\right)=\det\begin{pmatrix}x+1&0\0&x+1\end{pmatrix}=(x+1)2$，这是二次多项式，根只有$x=-1$，有限个；如果$A=\begin{pmatrix}0&1\-1&0\end{pmatrix}$，$B=I_2$，则$f(x)=\det\left(x\begin{pmatrix}0&1\-1&0\end{pmatrix}+(1-x)I_2\right)=\det\begin{pmatrix}1-x&x\-x&1-x\end{pmatrix}=(1-x)2 + x2=2x2-2x+1$，这是二次多项式，实数域上无解，但复数域上有两个根，依然是有限个。
综上，不管$A,B$是否相等，$f(x)=0$的解都是有限的：
- 当$A=B$时，解的个数是0（有限）；
- 当$A\neq B$时，$f(x)$是次数$\geq1$的非零多项式，根的个数不超过其次数，必然有限。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Debu
