组合级数与递推关系的相似性：求和式闭形式对应的递推关系问询

我最近在计算下面这个组合求和式的闭形式：
$$a_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{2k+1} 2^{3k}$$

我的思路是构造一个辅助求和式，结合二项式定理来推导。首先对$a_n$做了如下变形：
$$a_n = \frac{1}{2\sqrt{2}} \sum_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{2k+1} (2\sqrt{2})^{2k+1}$$
然后定义了另一个求和式$b_n$：
$$b_n = \frac{1}{2\sqrt{2}} \sum_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{2k} (2\sqrt{2})^{2k}$$

根据二项式定理，很容易得到：
$$a_n + b_n = \frac{1}{2\sqrt{2}} (2\sqrt{2}+1)^{2n+1}$$
$$a_n - b_n = \frac{1}{2\sqrt{2}} (2\sqrt{2}-1)^{2n+1}$$

把这两个式子联立求解，就能得到$a_n$和$b_n$的闭形式：
$$a_n = \frac{1}{4\sqrt{2}} \left((2\sqrt{2}+1)^{2n+1} + (2\sqrt{2}-1)^{2n+1} \right)$$
$$b_n = \frac{1}{4\sqrt{2}} \left((2\sqrt{2}+1)^{2n+1} - (2\sqrt{2}-1)^{2n+1} \right)$$

我发现这个闭形式看起来特别眼熟，和二阶齐次线性递推的通解形式很像。所以想请教一下，这个$a_n$对应的递推关系应该是什么呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者omega