独立同分布N(aσ,σ²)样本下无偏方差平方根的渐近正态性证明问询

问题背景 #

我现在在啃一个统计渐近性的问题：假设$X_1, \ldots, X_n$是独立同分布的随机变量，服从正态分布$N(a\sigma, \sigma^2)$，这里$a$是已知的正常数，$\sigma$是大于0的未知参数。

待证目标 #

我选了无偏样本方差的平方根作为$\sigma$的估计量：
$$
S := \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n(X_i-\bar{X}_n)}2}{n-1}}
$$
现在需要证明它的渐近正态性，也就是：
$$
\sqrt{n}[S - \sigma] \overset{L}{\to} N\left(0, \frac{\sigma^2}{2}\right)
$$

我已有的进展 #

目前我已经算出了$S$的方差表达式：
\begin{align}
\mathbb{Var}[S] &= \mathbb{E}[S^2] - (\mathbb{E}[S])^2\
&= \sigma^2 - \left(\sigma \sqrt{\frac{2}{n-1}}\frac{\Gamma(n/2)}{\Gamma((n-1)/2)}\right)^2
\end{align}

但我现在卡壳了，不知道该怎么从现有的结论或者换个方法推导出目标的渐近正态性结果，有没有大佬能给我指条路呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ytnb