希尔伯特空间中投影算子p+q的支撑投影等于p∨q的证明疑问

我最近在研究希尔伯特空间里的投影算子时，碰到了一个卡壳的问题，想请教一下：

设$H$是希尔伯特空间，$p,q\in B(H)$是正交投影，也就是满足
$$p=p^= p^2, \quad q=q^ = q^2.$$
我想要证明$s(p+q) = p\lor q$——这里$s(p+q)$是$p+q$的支撑投影，$p\lor q$是能同时支配$p$和$q$的最小投影。

要说明的是，我并没有假设$p$和$q$互相正交，也就是$pq\neq0$，所以$p+q$本身并不是投影。目前我已经能很容易看出
$$s(p+q)\le p \lor q,$$
但反过来的不等式我怎么都想不通，不知道该从哪里入手推导。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Andromeda