庞加莱上半平面测地线弧长参数化相关问题咨询

各位好，我最近在做一个参数化曲面的问题，已经搞定了前两个小问，但第三问实在卡壳了，想请教大家的思路：

已知某个参数化曲面的第一基本形式系数为：
$E = \frac{1}{v^2}$，$F = 0$，$G = \frac{1}{v^2}$

需要证明三条结论：

• (1) 形如 $(u(s),v(s)) = (a + r\tanh(s),r\operatorname{sech}(s))$ 的曲线，对应以v=0上的点为圆心的半圆；
• (2) 这类曲线是测地线；
• (3) 这类曲线经过曲面的参数化映射 $\varphi$ 后得到的像，是用弧长参数化的。

我已经顺利证明了(1)和(2)，但在(3)这里卡住了。另外我知道这个曲面其实就是抽象的庞加莱上半平面，严格来说并没有题目里提到的这种参数化 $\varphi$，所以我甚至觉得这个问题的表述有点别扭，想问问大家怎么理解这个点，以及怎么着手证明第三问？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者jackes gamero