关于利用Doob不等式改进布朗运动局部Hölder连续性证明的技术问询

嘿，我来梳理这个来自Liggett《连续时间马尔可夫过程》的习题内容，帮你把核心点和相关定理都理清楚：

核心结论与习题要求 #

这部分内容取自该书1.5节的习题22，目标是通过针对4阶以上偶次幂的Doob不等式（附录中的定理A.42），改进定理1.21的证明，得到布朗运动轨道的局部Hölder连续性的更强结论：

• 对任意$N>0$和任意$0<\alpha<\frac{1}{2}$，存在一个随机变量$C$，使得对所有满足$0\leq s,t\leq N$的$s,t$，有
  $$
  |B(t)-B(s)| \leq C|t-s|^\alpha
  $$
  换句话说，布朗运动的轨道是指数为$\alpha$的局部Hölder连续的。
• 额外补充：从下方的习题1.30可以推出，当$\alpha=\frac{1}{2}$时，这个结论是不成立的。

附录中的Doob不等式表述 #

原文给出的Doob不等式（附录中的版本，内容存在截断，以下是结合标准表述的完整整理）：

如果${M_k, 0 \leq k \leq n}$是一个非负下鞅，那么
$$
\lambda P\left(\max_{0\leq k\leq n}M_k\geq\lambda\right)\leq E[M_n]
$$
（注：原文此处有部分内容截断，上述是该不等式的标准完整形式）

简单证明思路提示 #

想要完成这个改进证明，关键在于：

• 选择布朗运动的偶次幂（比如$2p$，其中$p>2$）构造非负下鞅，应用Doob不等式得到极大值的概率上界；
• 对时间区间做网格划分，通过Borel-Cantelli引理控制“坏事件”的概率，最终推导出对任意$\alpha<\frac{1}{2}$的Hölder连续性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Math_Day