关于$L^2(\mathbb{T})$中负频率傅里叶系数全为零的函数的几乎处处非零/恒零性的证明请求

我想证明下面这个结论：

假设$\phi\in L^2(\mathbb T)$满足对所有$n\in \mathbb Z_{<0}$，有$\widehat{\phi}(n) = 0$。那么要么$\phi$几乎处处不为零，要么$\phi$几乎处处为零。

这个结论的强度可不一般：它意味着如果$\phi$在一个正测度集上取值为零（也就是“$\phi$几乎处处不为零”不成立的情况），那么$\phi$就必须几乎处处全为零。

这个结论的前提条件是：对所有$n\in \mathbb Z_{<0}$，有
$$\widehat{\phi}(n) = \int_\mathbb{T}\phi(t) , e^{-2\pi int}, dt = 0,$$

另外，我们知道Parseval恒等式：
$$|\phi|2^2 = \sum{n\in \mathbb Z} |\widehat{\phi}(n)|^2,$$
由此可以展开后续的推导（注：原内容此处有截断）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者stoic-santiago