求使第二个椭圆绕定点旋转后与固定椭圆相切的旋转角

问题描述 #

给定固定椭圆：
$$(r - C_1)^T Q_1 (r - C_1) = 1$$
其中 $r=[x,y]^T$，$C_1$ 是该椭圆的中心，$Q_1$ 是一个2×2的对称正定矩阵。

另有第二个椭圆：
$$(r - C_2)^T Q_2 (r - C_2) = 1$$

我需要将这个第二个椭圆绕已知点 $P_0$ 进行旋转，让它最终与第一个固定椭圆相切。现在想找出所有能实现这个相切状态的旋转角。

我的尝试 #

首先，我先推导了旋转后第二个椭圆的方程：假设旋转角为 $\theta$，对应的旋转矩阵是
$$R(\theta)=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$$
对于第二个椭圆上的任意点 $r$，绕 $P_0$ 旋转后的点 $r'$ 满足关系：
$$r' - P_0 = R(\theta)(r - P_0)$$
反过来就是 $r = P_0 + R(-\theta)(r' - P_0)$。

把这个代入第二个椭圆的原方程，整理后得到旋转后的椭圆方程：
$$\left(P_0 + R(-\theta)(r' - P_0) - C_2\right)^T Q_2 \left(P_0 + R(-\theta)(r' - P_0) - C_2\right) = 1$$
为了简化形式，我定义了旋转后的椭圆中心 $C_2' = P_0 + R(\theta)(C_2 - P_0)$，以及旋转后的矩阵 $Q_2' = R(\theta) Q_2 R(-\theta)$，这样旋转后的椭圆方程可以写成更简洁的形式：
$$(r' - C_2')^T Q_2' (r' - C_2') = 1$$

接下来考虑两个椭圆相切的条件：它们联立的方程组应该有且仅有一个重根解。我想到用拉格朗日乘数法来处理，假设切点为 $r^$，那么两个椭圆在该点的法向量必然平行，也就是说存在非零常数 $\lambda$，满足：
$$Q_1(r^ - C_1) = \lambda Q_2'(r^* - C_2')$$

同时 $r^$ 还需要满足两个椭圆的方程，这样就得到了一组包含 $r^$、$\lambda$ 和 $\theta$ 的方程组。但现在我卡在了消去 $r^*$ 和 $\lambda$ 的步骤上，不知道有没有更高效或者更简洁的方法来推导得到只关于 $\theta$ 的方程，进而解出所有可能的旋转角？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user948761