为何对所有a,b>0，积分∫₀^∞(1/(1+xᵃ)-1/(1+xᵇ))dx/x=0？

我在积分表中找到了一个和问题里类似的等式，而且用WolframAlpha测试了好几个取值，都验证这个等式是成立的，但我自己还没搞出严谨的证明过程。

我试过用换元法来尝试推导：令$u=x^{a$，此时$\frac{du}{au}=\frac{dx}{x}$，用这个换元来处理发散积分$\int_0}\infty\frac{dx}{(1+x^{a)x}$，换元后得到$\int_0}\infty\frac{du}{(1+u)au}$。

但按照这个思路推导下去，会得出一个结论：对所有的a,b，都有
$$\int_0^\infty \left(\frac{1}{1+x^{a}-\frac{1}{1+x}b}\right)\frac{dx}{x}=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\int_0^\infty\frac{du}{(1+u)u}$$
可这个结果一般来说并不是0，这就和我们要证明的结论产生了矛盾。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者auty